两半圆相交求阴影部分面积（两半圆相交求阴影面积比例三段长度相同）

1、两半圆相交求阴影部分面积

在平面直角坐标系中，已知两半圆的半径分别为r1和r2，它们相交于点O($\frac{r_1}{2}$, $\frac{r_2}{2}$)和点P($\frac{r_1}{2}$, $-\frac{r_2}{2}$)。两半圆的阴影部分如图所示：

[插入两半圆相交阴影部分示意图]

阴影部分面积计算

求出阴影部分的角θ。利用余弦定理，可在直角三角形OPQ中得到：

cosθ = $\frac{OP^2 + OQ^2 - PQ^2}{2OP \cdot OQ}$

其中，OP = $r_1$, OQ = $r_2$, PQ = $\sqrt{r_1^2 + r_2^2}$。代入已知数据，可得：

```

cosθ = $\frac{r_1^2 + r_2^2 - (r_1^2 + r_2^2)}{2r_1 \cdot r_2}$ = 0

```

因此，θ = 90°。

阴影部分的面积由两个扇形和一个矩形组成：

扇形OAP的面积：$\frac{1}{4} \cdot \pi r_1^2$

扇形OBP的面积：$\frac{1}{4} \cdot \pi r_2^2$

矩形PQCD的面积：$r_1 r_2$

阴影部分的总面积为：

```

S = $\frac{1}{4} \cdot \pi r_1^2 + \frac{1}{4} \cdot \pi r_2^2 + r_1 r_2$

```

```

= $\frac{\pi}{4} \cdot (r_1^2 + r_2^2) + r_1 r_2$

= $\frac{\pi}{4} \cdot (r_1 + r_2)^2$

```

两半圆相交阴影部分的面积等于两半圆半径和的平方乘以π的四分之一。

2、两半圆相交求阴影面积比例三段长度相同

3、两半圆相交求阴影面积的例题

两半圆相交求阴影面积

已知半径分别为R和r的两半圆相交，交点为A和B，且AB=h。求阴影面积。

解法：

1. 计算两半圆相交的弦长AB：

- 根据勾股定理，有：r^2 + (R-h)^2 = R^2

- 整理得：h = r^2 / (2R-r)

2. 计算两半圆相交的部分圆心角：

- 以R为半径的半圆的圆心角θ1 = arccos(AB / 2R)

- 以r为半径的半圆的圆心角θ2 = arccos(AB / 2r)

3. 计算两半圆相交的部分面积：

- 以R为半径的半圆的部分面积S1 = πR^2 (θ1 / 360)

- 以r为半径的半圆的部分面积S2 = πr^2 (θ2 / 360)

4. 计算阴影面积：

- 阴影面积S = πR^2 - (S1 + S2)

示例：

已知半径分别为R=5cm和r=3cm的两半圆相交，交点AB=4cm。求阴影面积。

计算：

- h = r^2 / (2R-r) = 3^2 / (25-3) = 2.778cm

- θ1 = arccos(AB / 2R) = arccos(2.778 / 10) ≈ 73.58°

- θ2 = arccos(AB / 2r) = arccos(2.778 / 6) ≈ 106.42°

- S1 = πR^2 (θ1 / 360) = π5^2 (73.58 / 360) ≈ 31.85cm^2

- S2 = πr^2 (θ2 / 360) = π3^2 (106.42 / 360) ≈ 29.02cm^2

- S = πR^2 - (S1 + S2) = π5^2 - (31.85 + 29.02) ≈ 56.13cm^2

答：阴影面积约为56.13cm^2。

4、两个半圆相交求阴影周长分析

两个半圆相交，形成一个阴影区域。要分析阴影周长，需要考虑两种情况：

1. 半圆无重叠

当两个半圆无重叠时，阴影区域是一个完整的半圆。因此，阴影周长为：

L = πr

其中 r 是半圆的半径。

2. 半圆有重叠

当两个半圆有重叠时，阴影区域由以下部分组成：

两个截取的扇形

一个圆弧

要计算阴影周长，需要计算截取扇形的弧长和圆弧的长度。

截取扇形的弧长

两个截取扇形的总弧长为：

θ = 2α - 2β

其中 α 和 β 是两个半圆的圆心角。

弧长为：

s = rθ

圆弧的长度

圆弧的长度为：

l = rπ - 2s

因此，当两个半圆有重叠时，阴影周长为：

L = 2s + l = 2r(θ - sinθ) + rπ

阴影周长取决于半圆的半径和相交情况。

如果半圆无重叠，阴影周长是一个完整的半圆。

如果半圆有重叠，阴影周长由截取扇形的弧长和圆弧的长度组成。