周长相等且面积相等的三角形全等(周长相等面积相等的两个三角形全等吗举个反例)
- 作者: 何素
- 发布时间:2024-05-09
1、周长相等且面积相等的三角形全等
周长相等面积相等,三角形全等知多少?
三角形的三边之和为周长,面积则由底乘高再除以二计算。当两个三角形具有相同的周长和面积时,是否意味着它们全等呢?答案是肯定的。
要证明这一,我们可以运用三角形全等判定定理。全等判定定理共有五条,其中一条为:若两个三角形的两边和夹角中的一个相等,则这两个三角形全等。
设有两个三角形△ABC和△DEF,它们的周长相等且面积相等,已知△ABC的周长为s,面积为S。
根据周长相等,有:AB + BC + CA = DE + EF + FD = s
面积相等,有:AB × BC × CA / 2 = DE × EF × FD / 2 = S
由此可得:AB × BC × CA = DE × EF × FD
又因为三角形的周长和面积满足:
s^2 = (AB + BC + CA)^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 + 2(AB × BC + BC × CA + CA × AB)
S = AB × BC × CA / 2
所以,有:
s^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 + 2(AB × BC + BC × CA + CA × AB)
2S = AB × BC × CA
将2S代入s^2,得到:
s^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 + AB × BC + BC × CA + CA × AB
整理变形,得:
(AB - BC)^2 + (BC - CA)^2 + (CA - AB)^2 = 0
由平方和大于等于0,可得:
AB - BC = 0, BC - CA = 0, CA - AB = 0
即:AB = BC, BC = CA, CA = AB
△ABC和△DEF的三边全等,根据全等判定定理,△ABC≌△DEF。
由此可见,周长相等且面积相等的三角形必然全等。
2、周长相等面积相等的两个三角形全等吗举个反例
两个周长相等面积相等的三角形不一定全等。以下是一个反例:
三角形 A:
边长:a、b、c(a > b > c)
周长:a + b + c
面积:s
三角形 B:
边长:c、a、b(c > a > b)
周长:a + b + c
面积:s
这两个三角形具有相同的周长和面积,但它们不是全等的。这是因为全等三角形的对应边相等,而三角形 A 和 B 的边不完全相同。
具体来说,三角形 A 的边长为 a、b、c,而三角形 B 的边长为 c、a、b。虽然它们的周长和面积相同,但它们的形状不同。三角形 A 是一个锐角三角形(所有角都小于 90 度),而三角形 B 是一个钝角三角形(有一个角大于 90 度)。
因此,仅仅因为两个三角形的周长和面积相等,并不意味着它们是全等的。为了判定两个三角形是否全等,需要考虑它们的形状和对应边的相等性。
3、周长相等面积相等的三角形是全等三角形吗
4、周长相等,面积相等的两个三角形全等吗
周长相等,面积相等的两个三角形不一定全等。
全等三角形不仅要求周长相等,面积相等,还需要满足以下条件之一:
三边相等:SSS(三边全等)
两边和夹角相等:SAS(两边夹角相等)
两角和一边相等:ASA(两角邻边相等)
如果两个三角形满足 SSS、SAS 或 ASA,那么它们就全等。如果它们仅满足周长相等和面积相等,则它们不一定全等。
例如,以下两个三角形具有相等的周长和面积:
三角形 A:边长为 3、4、5
三角形 B:边长为 3、5、3
这两个三角形显然不相等,因为它们的角不同。三角形 A 的一个角为 90 度,而三角形 B 的两个角为 60 度。
因此,虽然周长相等和面积相等是三角形全等的必要条件,但它们不是充分条件。需要满足上述其他条件之一才能断定两个三角形全等。