正在加载

三个相同圆重叠部分的面积(三个相同的圆围成的图形,求阴影部分的面积)

  • 作者: 李阳淇
  • 发布时间:2024-05-11


1、三个相同圆重叠部分的面积

设三个半径均为 r 的圆,它们两两相交且重叠部分面积相等。记三个圆的圆心分别为 O?、O? 和 O?,重叠部分的面积为 S。

连接圆心 O?O?、O?O? 和 O?O?,形成一个等边三角形,记其边长为 a。

由于三个圆重叠,因此 O?、O? 和 O? 三点共线。设 O? 点在 O?O? 线段上,且 O?O? = O?O? = c。

根据三角形外角定理,可得:

∠O? = ∠O? + ∠O? = 180° - 3∠O? = 180° - 120° = 60°

因此,三角形 O?O?O? 为正六边形的60°旋转,其边长为 a = 2r。

根据圆的扇形公式,重叠部分的面积为:

```

S = 3 (120°/360°) πr2 = πr2

```

得出三个相同圆重叠部分的面积等于其中一个圆的面积,即 πr2。

2、三个相同的圆围成的图形,求阴影部分的面积

在一个平面上,有三个相同半径的圆彼此相切,形成了一个有趣的图案。阴影部分是三个圆围成的区域中,不与任何圆周重叠的部分。

设每个圆的半径为r。当三个圆相切时,它们的圆心会形成一个等边三角形。三角形的边长为:

```

边长 = 2r √3

```

三角形的面积为:

```

三角形面积 = (边长2) √3 / 4

```

阴影部分的面积由三个扇形组成,每个扇形的圆心角为120度。

扇形的面积可以表示为:

```

扇形面积 = (弧长 半径) / 2

```

三个圆的弧长之和为三角形的边长:

```

弧长之和 = 2r √3 3

```

因此,阴影部分的面积为:

```

阴影部分面积 = 3 (弧长之和 半径) / 2 - 三角形面积

```

将上述公式代入后,得到:

```

阴影部分面积 = 3 (2r √3 3 r) / 2 - (2r √3 3)2 √3 / 4

```

经过计算,可以得到阴影部分面积为:

```

阴影部分面积 = 4r2√3

```

因此,如果三个相同半径的圆彼此相切围成的图像,其半径为r,则阴影部分的面积为4r2√3。

3、三个相同圆重叠部分的面积怎么算

三个相同圆重叠部分面积的计算

当三个半径相等的圆重叠时,它们会形成一个具有三个相交区域的六边形区域。计算这三个相交区域的总面积需要使用以下公式:

面积 = 3πr2 - 3π/4 √3 r2

其中:

π 是圆周率,约等于 3.14

r 是圆的半径

推导过程:

1. 计算三角形的面积:每个圆与相邻圆相交形成一个三角形。三角形的底边是圆弧的长度,高是半径。三角形面积为:

```

三角形面积 = 1/2 r (π/6 r) = πr2/12

```

2. 计算相交区域的面积:相交区域由三个三角形组成。将三角形面积求和得到相交区域的面积:

```

相交区域面积 = 3 πr2/12 = πr2/4

```

3. 计算三个圆的面积:三个圆的总面积为:

```

圆面积 = 3πr2

```

4. 计算重叠区域的面积:重叠区域的面积是三个圆的面积减去三个相交区域的面积:

```

重叠区域面积 = 3πr2 - 3 πr2/4 = 3πr2 - 3π/4 √3 r2

```

4、三个相同圆重叠部分的面积怎么求

三个相同圆重叠部分的面积

当三个相同半径的圆重叠时,重叠部分形成一个特殊的区域,称为韦恩图。要计算这个重叠区域的面积,我们可以使用以下步骤:

1. 计算单个圆的面积:

单个圆的面积为 πr2,其中 r 是圆的半径。

2. 计算重叠区域的交点数量:

找出重叠区域中有多少个圆心的交点。

3. 计算每个交点处的重叠扇形的面积:

每个交点处形成一个扇形。扇形的面积为 (π/3)r2,其中 r 是扇形的半径。

4. 乘以交点数量:

将每个交点处的重叠扇形面积乘以交点数量,得到重叠区域的面积。

例如,如果三个半径为 1 的圆相交,则:

1. 单个圆的面积:π × 12 = π

2. 交点数量:3

3. 每个交点处的重叠扇形面积:π/3 × 12 = π/3

4. 重叠区域的面积:3 × π/3 = π

因此,三个相同圆重叠部分的面积为 π。