重心三角形面积相等证明（如何证明重心组成的三角形面积相等）

1、重心三角形面积相等证明

重心三角形面积相等证明

设三角形ABC的重心为G，则重心三角形A'B'C'的面积为三角形ABC面积的三分之一。

证明：

取一点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，则面积△ABP + △ACP + △BCP = △ABC。

连接GA'、GB'、GC'，则△APG + △BPG + △CPG = △ABC。

因此，△ABP + △ACP + △BCP = △APG + △BPG + △CPG。

由于G是△ABC的重心，所以GA' = 2GP，GB' = 2GP，GC' = 2GP。

因此，△APG = ?△ABP，△BPG = ?△BCP，△CPG = ?△ACP。

所以，△A'P'B' + △A'P'C' + △B'P'C' = (△ABP + △ACP + △BCP) / 3 = ΔABC / 3。

因此，△A'B'C'的面积为△ABC面积的三分之一。

推论：

1. △ABC中任何一点的到三角形三边的距离之和最小，当且仅当该点为重心时。

2. △ABC的重心到各边的距离相等。

3. △ABC中任意一条中线把△ABC分成两部分，两部分的面积相等。

2、如何证明重心组成的三角形面积相等

重心三角形面积相等的证明

设三角形ABC的重心为G，则AG、BG、CG分别为三角形ABC中对应边的中线。

我们首先证明△AGB和△AGC面积相等：

由中线定理，AG=GB=GC，因此△AGB和△AGC为等腰三角形。

∠AGB=∠AGC（因为AG是中线），且∠AGB+∠AGC=180°（因为它们是邻角）。

因此，∠AGB=∠AGC=90°，即△AGB和△AGC都是直角三角形。

又因为AB=AC（因为AG是中线），所以△AGB和△AGC的底边相等，且高度为AG。

因此，根据三角形面积公式，△AGB=△AGC。

同理可证，△BGC和△CGA面积相等。

因此，△AGB+△BGC+△CGA=△AGC+△BGC+△CGA。

化简得：△ABC=△AGB+△BGC+△CGA。

重心组成的三个三角形的面积相等，即△AGB=△BGC=△CGA。

3、怎么证明重心把三角形面积三等分

重心把三角形面积三等分

重心，也称三角形的几何中心，是三角形内所有点到三角形三边的距离之和最小的点。重心具有一个重要的性质：它能把三角形面积三等分。

证明：

设三角形ABC的重心为G，三边长分别为a、b、c。从G点引垂线GD、GE、GF分别垂直于三边BC、AC、AB。

由于G点是重心，所以：

AG = 2GD

BG = 2GE

CG = 2GF

根据三角形的面积公式：

三角形ABC的面积 = (1/2) BC GD

三角形ABG的面积 = (1/2) AB GD

三角形ACG的面积 = (1/2) AC GE

三角形BCG的面积 = (1/2) BC GF

将G点的性质代入上述公式，可得：

三角形ABC的面积 = (1/2) BC (AG/2) = (1/4) BC AG

三角形ABG的面积 = (1/4) AB AG

三角形ACG的面积 = (1/4) AC AG

三角形BCG的面积 = (1/4) BC AG

因此，三角形ABC的面积等于三角形ABG、ACG、BCG面积之和：

三角形ABC的面积 = 三角形ABG的面积 + 三角形ACG的面积 + 三角形BCG的面积

这证明了重心G把三角形ABC的面积三等分。

4、三角形重心三个面积相等证明

三角形的重心是三角形三个内角平分线的交点。重心具有一个重要的性质：它把三角形分成三个面积相等的三角形。

证明如下：

设三角形ABC的重心为G。连接AG、BG、CG。

由于AG是角A的平分线，所以∠BAG=∠CAG。

类似地，∠ABG=∠ACG，∠BCA=∠BCG。

根据三角形内角和定理，∠BAC+∠BCA+∠CAB=180°，∠ABC+∠ACB+∠BCA=180°。

因此，∠BAG+∠CAG+∠ABG+∠ACG+∠BCA+∠BCG=360°。

由于∠BAG、∠CAG、∠ABG、∠ACG、∠BCA、∠BCG都是直角，所以∠BAG+∠CAG+∠ABG+∠ACG+∠BCA+∠BCG=6×90°=540°。

这表明，六个角的和为540°，而三角形有三个角，所以每个角的度数为180°。

因此，△ABG、△ACG、△BCG都是等腰三角形。

根据三角形的面积公式，△ABG=1/2×AB×BG，△ACG=1/2×AC×CG，△BCG=1/2×BC×BG。

由于AB、AC、BC为三角形ABC的边，所以BG=CG=AB/3，AG=BG/2=AB/6。

因此，△ABG=1/2×AB×AB/3=AB^2/6，△ACG=1/2×AC×AC/3=AC^2/6，△BCG=1/2×BC×AC/3=BC^2/6。

△ABG=△ACG=△BCG，即三角形ABC的重心把三角形分成三个面积相等的三角形。