两个圆相切求阴影部分面积（两个圆相切求阴影部分面积的公式）

1、两个圆相切求阴影部分面积

两个相切圆的阴影面积问题涉及三角形和圆形的面积计算。

假设两个相切圆的半径分别为r和R，相切点为P。连接圆心O1和O2，并作OP⊥O1O2于点H。

根据勾股定理，有：

OH2 = O1O22 - O1H2 = (R + r)2 - r2 = R2 + 2Rr

又因为△O1HP和△O2HP全等，所以：

OP2 = OH2 - HP2 = OH2 - (R - r)2 = 2Rr

阴影部分的面积由两个扇形和一个三角形组成。

扇形O1PH的面积为：

S1 = (1/2)r2 (2π/3) = (π/3)r2

扇形O2PH的面积为：

S2 = (1/2)R2 (2π/3) = (π/3)R2

三角形OPH的面积为：

S3 = (1/2)OP HP = (1/2) √(2Rr) (R - r) = (1/2) √(2Rr) (R - r)

因此，阴影部分的面积为：

S = S1 + S2 - S3 = (π/3)r2 + (π/3)R2 - (1/2) √(2Rr) (R - r)

2、两个圆相切求阴影部分面积的公式

两个相切圆阴影部分面积公式

当两个半径为 r1 和 r2 的圆相切时，它们中间的阴影部分是一个月牙形区域。该区域的面积 A 可由以下公式计算：

A = (r1^2 π) (θ1 / 2) + (r2^2 π) (θ2 / 2) - (r1 r2 sin(θ1 / 2) sin(θ2 / 2))

其中：

θ1 和 θ2 分别是圆心角（单位为弧度）

sin(θ1 / 2) 和 sin(θ2 / 2) 是圆心角的正弦值

推导：

阴影部分的面积由两个扇形部分和一个公共弦的三角形部分组成。

扇形部分 1：面积为 (r1^2 π) (θ1 / 2)

扇形部分 2：面积为 (r2^2 π) (θ2 / 2)

三角形部分：面积为 (r1 r2 sin(θ1 / 2) sin(θ2 / 2))

将这三个部分的面积相加减，得到最终的公式。

示例：

如果两个圆的半径分别为 r1 = 5 cm 和 r2 = 3 cm，且圆心角为 θ1 = 120° 和 θ2 = 150°，则阴影部分面积为：

```

A = (5^2 π) (120° / 2 / 180°) + (3^2 π) (150° / 2 / 180°) - (5 3 sin(120° / 2 / 180°) sin(150° / 2 / 180°))

A ≈ 27.92 cm2

```

3、两个圆相切求阴影部分面积怎么求

两个圆相切，且相切点为 P。若两圆的半径分别为 R 和 r（R > r），求阴影部分的面积。

解法：

1. 构造直角三角形：过点 P 作圆 R 的切线 PQ，并作圆 r 的切线 PS。则 PQ 垂直于 PS，组成直角三角形 ΔPQS。

2. 求出直角三角形三边长：

- PQ = R

- PS = r

- QS = R - r

3. 求出阴影部分面积：

- 阴影部分为三角形 ΔPQS 中 PQ 和 PS 之间的半圆面积和。

- 半圆面积公式：S = (πr2)/2

- 因此，阴影部分面积为：S = (πR2/2) + (πr2/2) = π(R2 + r2)/2

特殊情况：

当两个圆半径相等时（R = r），阴影部分面积为一个圆的面积：S = πR2。

4、两圆相切求另一个圆的圆心

当两个圆相切时，它们的圆心连线垂直于它们的公切线。因此，若已知两个圆的半径和它们的公切线上的一个点，即可求出另一个圆的圆心。

设已知两个圆的圆心分别为 O1 和 O2，半径分别为 r1 和 r2，相切点为 P。作 O1O2 的垂线交公切线于点 A。

根据勾股定理，有：

O1A2 = O1P2 - AP2 = r12 - r22

O2A2 = O2P2 - AP2 = r22 - r12

由于 O1O2 ⊥公切线，且 O1A = O2A，因此：

O1A2 = O2A2

联立上述三个方程，可得：

r12 - r22 = r22 - r12

2r12 = 2r22

r12 = r22

即两个圆的半径相等。

已知公切线上的点 A，以及两个圆的半径 r，可求出 O1O2 的长度，即：

O1O2 = √(O1A2 + O2A2) = √(r12 + r12) = r√2

由于 O1O2 ⊥公切线，可作圆心为 O1，半径为 r√2 的圆与公切线相切，该圆的圆心即为另一个圆的圆心 O2。