平面去球面相切（平面与球面相切求平面方程）

1、平面去球面相切

平面去球面相切，乃几何学中一妙趣之境。当平面与球面相交时，其交线形成圆形，此圆心为平面圆心，与球心连线垂直于平面。

球面与平面的相切点称为切点，此点为平面与球面唯一相交之处。切点处的球面与平面相切，形成一个圆锥体，其顶点为切点，底面为平面圆。

平面与球面相切的条件十分明确，即平面的圆心距球心与球面半径之差的绝对值等于平面半径。若平面圆心恰好位于球面上，则平面与球面相切于一点，形成相切圆。

此类相切关系在现实世界中广泛存在，例如液滴在平面上形成的球形表面、气泡在液体中的形状，以及天体在广义相对论中对光线路径造成的弯曲。

平面与球面相切的研究在光学、建筑学和机械工程等领域有着重要应用。在光学中，镜片的曲率与平面相切的原理密切相关，影响着光线的反射和折射。在建筑学中，球形穹顶和椭圆形拱门等结构利用了平面与球面相切的原理，既美观又稳固。在机械工程中，齿轮和轴承的设计也需要考虑平面与球面相切的条件，以确保平稳运转和减少磨损。

2、平面与球面相切求平面方程

3、球面的切平面方程怎么求

球面的切平面方程求解

设球面方程为：

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

其中，r 为球体的半径。

球面上一点 P(x0, y0, z0) 的切平面的法向量为 P 点到球心的向量，即：

```

n = (x0, y0, z0)

```

切平面的方程为：

```

n · (x, y, z) = n · (x0, y0, z0)

```

展开得到：

```

x0(x - x0) + y0(y - y0) + z0(z - z0) = 0

```

整理为标准形式：

```

x0x + y0y + z0z = x0^2 + y0^2 + z0^2

```

由于 P 点在球面上，所以有：

```

x0^2 + y0^2 + z0^2 = r^2

```

代入上式，得到球面的切平面方程：

```

x0x + y0y + z0z = r^2

```

4、平面与球面相切求切点

当平面与球面相切时，它们的交线是一个圆，称为切圆。而切圆的圆心便是切点。

求切点的方法有两种：

方法一：垂直法线法

设平面为 π，球面圆心为 O，球面半径为 r。则过 O 点且垂直于 π 的直线称为球面的法线。切点 P 位于法线上，且 OP = r。

方法二：平面方程法

设平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，球面方程为 (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2。

则切点 P 的坐标满足这两个方程。将平面方程代入球面方程，解出 x、y、z 的值，即可求得切点。

举例：

求平面 2x - 3y + z - 5 = 0 与球面 (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 25 相切的切点。

代入平面方程：2(x - 1)2 + 3(y + 2)2 + (z - 3)2 = 25。

展开化简：x2 + 4xy + 4y2 + z2 - 6z + 1 = 0。

解得切点 P(1, 1, 4)。