两直线相对位置及平面的投影（画法几何中两直线的相对位置关系）

作者: 李德楷
发布时间：2024-08-04

                         ﻿1、两直线相对位置及平面的投影两直线相对位置及平面的投影
两条直线在空间中的相对位置可以分为相交、平行或相割。判断两直线相对位置的方法是根据它们的向量方程。
两直线相交
如果两直线的向量方程为：
l1: x = a1 + t1  b1
l2: x = a2 + t2  b2
则两直线相交的条件是：
```
a1 + t1  b1 = a2 + t2  b2
```
解出 t1 和 t2 的值，可以得到交点坐标。
两直线平行
如果两直线的向量方程为：
```
l1: x = a1 + t1  b1
l2: x = a2 + t2  b2
```
且满足：
```
a1 - a2 = kb1 (k 为常数)
```
则两直线平行。
两直线相割
如果两直线不满足相交和平行条件，则它们相割。
平面的投影
当两条直线所在平面投影到另一个平面时，它们的投影长度和夹角会发生变化。
投影长度公式：
```
OP' = OP  cos(θ)
```
其中：
 OP' 为投影长度
 OP 为原长度
 θ 为投影角
投影角公式：
```
cos(θ) = (a1  a2 + b1  b2 + c1  c2) / (|a1| |a2| + |b1| |b2| + |c1| |c2|)
```
其中：
 a1, b1, c1 为第一条直线的法向量分量
 a2, b2, c2 为第二条直线的法向量分量
 | | 表示向量的模
2、画法几何中两直线的相对位置关系
3、两条直线的相对位置的三种情况直线相对位置的三种情况
两条直线在平面上的相对位置有三种情况：平行、相交或垂直。
平行：两条直线相距相等，永远不会相交。它们可以是水平的、垂直的或倾斜的。
相交：两条直线在某一点相交，形成一个公共点。相交的直线可以是任意方向的。
垂直：一条直线与另一条直线垂直时，它们成90度角相交。垂直的直线可能是水平和垂直的，也可能是倾斜的。
判定方法：
 斜率：对于非垂直的直线，斜率相同则平行，斜率不同则相交。
 截距：对于水平或垂直的直线，截距相同则平行，截距不同则相交。
 点积：两条直线的方向向量点积为0则垂直，否则相交或平行。
应用：
直线相对位置的概念在几何、物理和工程等领域都有着广泛的应用。例如，在建筑中，平行直线用于创建平行墙和柱子；在物理中，垂直直线用于表示重力和力之间的相互作用。
4、直线和平面相对投影面的位置直线和平面相对于投影面的位置，主要分为以下几种情况：
直线与平面平行或重合：
若直线与平面平行，投影到投影面后的投影也是一条直线，与原直线平行。若直线与平面重合，投影后仍为一条直线，且与原直线共线。
直线与平面相交：
若直线与平面相交，投影到投影面后的投影为一个点，称为交点。交点的具体位置取决于直线和平面与投影面的夹角。
直线平行于投影面：
若直线平行于投影面，投影后为一条直线，与原直线平行。
平面平行于投影面或重合：
若平面平行于投影面，投影后为与其重合的平面。若平面与投影面重合，投影后仍为原平面本身。
平面与投影面相交：
若平面与投影面相交，投影到投影面后的投影为一条直线，称为截线。截线的具体位置取决于平面与投影面的夹角。
判断直线和平面相对投影面的位置时，可以利用正交投影的原理，即将直线和平面分别投影到垂直于投影面的平面（投影平面）上，然后观察投影后的图形。通过分析投影图形与投影面的位置关系，可以确定原直线和平面相对于投影面的位置。