八字星怎么证明四点共圆（不用四点共圆怎么证明八字型）

1、八字星怎么证明四点共圆

八字星是圆周上四个等距点，它们具有独特的性质，可以用来证明四点共圆。

定理：

若圆周上四个点A、B、C、D满足：

AB = CD

BC = DA

则A、B、C、D四点共圆。

证明：

连接AC、BD。由于AB = CD，BC = DA，因此∠ABC ? ∠CDA，∠BCD ? ∠DAB。

设AC 与 BD 交于点O。由于∠ABC ? ∠CDA，因此∠OBC ? ∠OAD。又因为∠BCD ? ∠DAB，因此∠OBA ? ∠OCD。

因此，△OAB ∽ △OCD，所以

```

OA / OC = OB / OD

```

又因为△AOB 和△COD 中，OA = OC，OB = OD，因此△AOB ? △COD。

因此，∠AOB = ∠COD = 180°。

由于∠AOB = 180°，因此A、B、O三点共线。同理，C、D、O三点共线。

因此，A、B、C、D四点共圆。

通过证明∠ABC ? ∠CDA和∠BCD ? ∠DAB，我们得出A、B、C、D四点共圆。这个定理可以用来解决许多几何问题，如证明圆的切线长度相等或证明圆内角和外角的性质。

2、不用四点共圆怎么证明八字型

判定八字型的几何条件是存在一条线段与四个圆相切。传统证明方法巧妙采用四点共圆准则，但本文提供一种不依赖四点共圆的证明方法：

假设有线段AB与圆A1、A2、A3、A4相切于P1、P2、P3、P4。根据圆心到切点的距离相等，可得：

OA1 = OA2 = OA3 = OA4 = r1

OB1 = OB2 = OB3 = OB4 = r2

连接PP3、PP4，由于切线垂直于半径，可得：

PP3 ⊥ OA3，PP4 ⊥ OA4

因此，△P3PP4 是直角三角形，∠P3P4 = 90°。

同样地，连接PP1、PP2，可得：

△P1PP2 是直角三角形，∠P1P2 = 90°

由于∠P3P4 + ∠P1P2 = 180°，因此PP1 || PP3。

再连接PP1、PP4，可得：

△P1PP4 是直角三角形，∠P1P4 = 90°

同样地，连接PP2、PP3，可得：

△P2PP3 是直角三角形，∠P2P3 = 90°

由于∠P1P4 + ∠P2P3 = 180°，因此PP2 || PP4。

综合上述，可得：

PP1 ⊥ PP3，PP2 ⊥ PP4，PP1 || PP3，PP2 || PP4

因此，四边形P1PP3P4为平行四边形，且对角线PP1和PP3相交于中点。

无需四点共圆准则，即可证明线段AB与四个圆相切时形成八字型。

3、怎样证明四点共圆判定定理

4、如何证明四点共圆

若要证明四点共圆，可以根据以下

圆周角定理：圆心角所对圆周角的度数等于圆心角的半数。

圆幂定理：从一点到圆的两条割线连结的乘积，等于该点关于圆的幂。

证明步骤：

1. 选择中心：假设四点共圆，令其中心为O。

2. 证明圆心角相等：根据圆周角定理，任意两点A、B与中心O连线的圆心角相等，记为α。

3. 证明圆幂相等：根据圆幂定理，从O到任意两条割线AB和CD的乘积应当相等，即 OA·OB = OC·OD。

4. 证明点O在圆上：对于任意一点P，连接OP。则 OP2 = OA2 - AP2 = OB2 - BP2 = OC2 - CP2 = OD2 - DP2。这表明O到P的幂对于所有点P都相等，即O在圆上。

5. 因为O在圆上，且OA、OB、OC、OD相等，因此四点A、B、C、D共圆，圆的圆心为O，其对应圆周角相等。

注意事项：

证明过程中，需要证明圆心角相等和圆幂相等。

当四点严格共线时，以上不成立。

若四点共圆，则任意一条经过两点的直线都包含圆心。

圆幂定理可以用于证明更多有关圆的性质，如外心定理和弦长定理等。