如何证明相似三角形面积比（如何证明相似三角形面积比等于相似比的平方）
- 作者: 何耀飞
- 发布时间：2024-11-05
1、如何证明相似三角形面积比
相似三角形的面积比证明
证明：设相似三角形ABC和DEF，缩放因子为k。
则：
DE = k·AB，EF = k·AC，DF = k·BC
∠DEF = ∠ABC，∠DFE = ∠ACB，∠EDF = ∠BAC
根据三角形面积公式：
S_ABC = 1/2 · AB · AC · sin(∠ABC)
S_DEF = 1/2 · DE · EF · sin(∠DEF)
代入相似三角形的边长和角关系：
S_DEF = 1/2 · (k·AB) · (k·AC) · sin(∠ABC)
S_DEF = 1/2 · k^2 · (AB · AC) · sin(∠ABC)
因此，相似三角形ABC和DEF的面积比为：
S_DEF / S_ABC = (1/2 · k^2 · AB · AC · sin(∠ABC)) / (1/2 · AB · AC · sin(∠ABC))
S_DEF / S_ABC = k^2
即，相似三角形的面积比等于缩放因子k的平方。
2、如何证明相似三角形面积比等于相似比的平方
证明相似三角形面积比等于相似比的平方
对于两个相似三角形，它们的对应边成比例，记相似比为 k。
设较小三角形的面积为 S，较大三角形的面积为 T，则有：
S / T = (a / A) x (b / B) x (c / C)
其中 a、b、c 分别是较小三角形的边长，A、B、C 分别是较大三角形的边长。
由于相似三角形对应边成比例，因此有：
a / A = b / B = c / C = k
代入上述比例，得到：
S / T = k x k x k = k^3
由此可见，相似三角形面积比等于相似比的平方，也就是：
面积比 = 相似比^2
