与椭球面相切的平面方程（椭球面平行于平面的切平面方程）
- 作者: 周书政
- 发布时间：2024-05-20
1、与椭球面相切的平面方程
椭球面的方程为：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$
其中，a、b、c 为椭球的长半轴、中半轴和短半轴。
与椭球面相切的平面方程为：
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
其中，A、B、C 为平面的法向量方向余弦，D 为平面对原点的截距。
要使平面与椭球面相切，需要满足以下条件：
1. 平面的法向量与椭球面的梯度场在切点处垂直，即：
$$A\frac{\partial f}{\partial x} + B\frac{\partial f}{\partial y} + C\frac{\partial f}{\partial z} = 0$$
其中，f 为椭球面的方程。
2. 平面对切点的距离为 0，即：
$$D = f(x, y, z)$$
其中，(x, y, z) 为切点坐标。
根据条件 1，可以得到：
$$A = -x\lambda, \quad B = -y\lambda, \quad C = -z\lambda$$
其中，λ 为比例系数。
代入条件 2，可以得到：
$$D = \lambda \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1\right)$$
综上，与椭球面相切的平面方程为：
$$-x\lambda \frac{\partial f}{\partial x} - y\lambda \frac{\partial f}{\partial y} - z\lambda \frac{\partial f}{\partial z} + \lambda \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1\right) = 0$$
其中，λ 为比例系数。
2、椭球面平行于平面的切平面方程
椭球面平行于平面的切平面方程
给定椭球面方程为：
$$x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$$
和平面方程为：
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
其中，A、B、C 和 D 为常数。
椭球面平行于平面的切平面方程为：
$$Ax + By + Cz + D = E$$
其中，E 为一个常数。
求解 E 值：
已知切平面与平面相切，所以切平面方程与平面方程有相同的法向量。两平面的法向量分别为：
$$(A, B, C) \ \ \ \text{和} \ \ \ (1/2a^2, 1/2b^2, 1/2c^2)$$
因此，有：
$$\frac{A}{1/2a^2} = \frac{B}{1/2b^2} = \frac{C}{1/2c^2} = \lambda$$
其中，λ 是一个常数。解得：
$$A = \frac{\lambda}{2a^2}, \quad B = \frac{\lambda}{2b^2}, \quad C = \frac{\lambda}{2c^2}$$
代入切平面方程，得：
$$\lambda \left(\frac{x}{2a^2} + \frac{y}{2b^2} + \frac{z}{2c^2}\right) + D = E$$
整理得：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = \frac{2D}{\lambda} + 1$$
因此，椭球面平行于平面的切平面方程为：
$$\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = \frac{2D}{\lambda} + 1}$$
3、与椭球面相切的平面方程怎么求
与椭球面相切的平面方程求解
考虑椭球面：
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
以及与之相切的平面：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
两者的交集是一条曲线，且其法线向量垂直于椭球面和平面。因此，法线向量可以表示为：
```
(2x/a2, 2y/b2, 2z/c2) = (A, B, C)
```
整理可得：
```
x/a2 = A/2
y/b2 = B/2
z/c2 = C/2
```
代入参数方程：
```
x = (a2/2)A
y = (b2/2)B
z = (c2/2)C
```
这些参数值位于椭球面上。将它们代入平面方程，得到：
```
a2A2/(4a2) + b2B2/(4b2) + c2C2/(4c2) + D = 0
```
化简得：
```
A2 + B2 + C2 = 4D
```
这就是与椭球面相切的平面方程的方程形式。