重心三个三角形面积相等证明（重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等证明）

1、重心三个三角形面积相等证明

重心三个三角形面积相等证明

给定一个三角形ABC，其重心为G，连结GA、GB、GC。以A、B、C为中点，分别作三角形DEF、GHI、JKL。

证明：

三角形DEF、GHI、JKL面积相等

由于DEF是三角形ABC的中线三角形，所以面积为三角形ABC面积的1/4，即S(DEF) = S(ABC)/4。同理，有S(GHI) = S(ABC)/4和S(JKL) = S(ABC)/4。

三角形GAB、GAC、GBC面积相等

连接AG，则三角形GAB的面积为三角形ABC面积的1/6，即S(GAB) = S(ABC)/6。同理，有S(GAC) = S(ABC)/6和S(GBC) = S(ABC)/6。

三角形GAB、GAC、GBC三倍面积等于三角形DEF、GHI、JKL面积

S(GAB) + S(GAC) + S(GBC) = 3 S(ABC)/6 = S(ABC)/2

S(DEF) + S(GHI) + S(JKL) = 3 S(ABC)/4 = S(ABC)/2

因此，三角形GAB、GAC、GBC三倍面积等于三角形DEF、GHI、JKL面积。证毕。

2、重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等证明

重心与三角形面积相等证明

对于一个三角形，其重心是三角形三个顶点的中点的交点。重心O具有以下性质：

定理： 重心将三角形分解为三个小三角形，这三个小三角形的面积相等。

证明：

设三角形ABC的重心为O。由于O是A、B、C的中点，因此AO = BO = CO。

连接AO、BO和CO。则△ABO、△BCO和△ACO的底边分别为AB、BC和AC，高分别为CO、AO和BO。

由于AO = BO = CO，因此△ABO、△BCO和△ACO的高相等。

又由于底边分别为AB、BC和AC，且AB + BC > AC, BC + AC > AB, AC + AB > BC，因此△ABO、△BCO和△ACO的底边各不相同。

由此可知，△ABO、△BCO和△ACO是不同的三角形。

根据三角形面积公式，三角形面积与底边和高成正比。因此，△ABO、△BCO和△ACO的面积也分别与AB、BC和AC成正比。

由于AB + BC > AC, BC + AC > AB, AC + AB > BC，因此AB、BC和AC中最大值是AB + BC。

由此可知，△ABO的面积最大，△BCO的面积次之，△ACO的面积最小。

但是，根据定理假设，△ABO、△BCO和△ACO的面积相等。

这与前面的推论相矛盾。

因此，我们的假设是错误的。即△ABO、△BCO和△ACO的面积并不相等。

重心将三角形分解为三个小三角形，这三个小三角形的面积相等。

3、重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积

重心是一个三角形的几何中心，是三角形三个顶点连线的交点。我们可以利用重心来求出三角形三个顶点组成的三个三角形的面积。

设△ABC的重心为G，三个顶点为A、B、C，则面积为S：

1. 三角形GAB的面积：S1 = 1/3 S

2. 三角形GAC的面积：S2 = 1/3 S

3. 三角形GBC的面积：S3 = 1/3 S

三个三角形的总面积为S1 + S2 + S3 = 3/3 S = S，也就是原三角形的面积。

因此，我们可以通过找到三角形的重心，然后利用重心将三角形分解成三个小三角形，从而求出三角形三个顶点组成的三个三角形的面积。这个方法简单直观，在实际中有广泛的应用。

4、重心三个三角形面积相等证明向量内积

重心三个三角形面积相等证明向量内积

设三角形ABC的重心为G，点P在三角形ABC内部。

连接GP并作平行于AC的线段PB和PC。

则△ABG与△PCG相似，△ACG与△PBG相似。

因此，AB/PC = AG/PG，AC/PB = AG/PG

即AB·PG = AG·PC，AC·PG = AG·PB

将两式相加得到：AB·PG + AC·PG = AG(PC + PB) = AG·AB

又因为三角形ABC的面积为[AB·AC·sinA]/2，其中A为∠BAC。

同样可以得到：△PCG的面积为[PC·PG·sinC]/2，其中C为∠PCG。

△PBG的面积为[PB·PG·sinB]/2，其中B为∠PBG。

由于∠BAC = ∠PCG + ∠PBG，所以sinA = sinC·cosB + sinB·cosC

因此，△ABC的面积 = △PCG的面积 + △PBG的面积

即[AB·AC·sinA]/2 = [PC·PG·sinC]/2 + [PB·PG·sinB]/2

化简得：AB·AC = PC·PG·sinC + PB·PG·sinB

两边同除以PG，得到：AB·AC = PC·sinC + PB·sinB

由于向量AB与AC夹角为π/3，向量PC与PB夹角也为π/3，所以

AB·PC = |AB||PC|cos(π/3) = |AB||PC|/2

AC·PB = |AC||PB|cos(π/3) = |AC||PB|/2

将这两式代入上式，得到：

|AB||AC|/2 = (|PC|/2)sinC + (|PB|/2)sinB

即：|AB||AC|sinA = |PC|sinC + |PB|sinB

证毕。