重心分成的三个三角形面积相等（为什么重心把三角形分为三个面积相等的三角形）

1、重心分成的三个三角形面积相等

重心分成的三个三角形面积相等

给定一个三角形，记其重心为 G。连接 G 与三角形的三个顶点，将三角形分成三个较小的三角形：△GBA、△GBC、△GCA。

定理：

这三个三角形的面积相等，即：

$${\rm Area}(\triangle GBA) = {\rm Area}(\triangle GBC) = {\rm Area}(\triangle GCA)$$

证明：

设三角形的顶点分别为 A、B、C，重心 G 为中点分割线 AD、BE、CF 的交点。

由于 G 是 AD 的中点，因此：

$${\rm Area}(\triangle GAD) = \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ACD)$$

同理，由于 G 是 BE、CF 的中点，因此：

$${\rm Area}(\triangle GBF) = \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ABC)$$

$${\rm Area}(\triangle GEC) = \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ABC)$$

因此：

$${\rm Area}(\triangle GBA) = {\rm Area}(\triangle GAD) - {\rm Area}(\triangle GBF)$$

$${\rm Area}(\triangle GBC) = {\rm Area}(\triangle GBE) - {\rm Area}(\triangle GCF)$$

$${\rm Area}(\triangle GCA) = {\rm Area}(\triangle GCF) - {\rm Area}(\triangle GAD)$$

将这三个公式相加，得到：

$${\rm Area}(\triangle GBA) + {\rm Area}(\triangle GBC) + {\rm Area}(\triangle GCA) = \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ABC) + \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ABC) + \frac{1}{2}{\rm Area}(\triangle ABC)$$

$${\rm Area}(\triangle GBA) + {\rm Area}(\triangle GBC) + {\rm Area}(\triangle GCA) = {\rm Area}(\triangle ABC)$$

因此，这三个三角形的面积相等。

2、为什么重心把三角形分为三个面积相等的三角形

重心作为三角形一个特殊的点，它将三角形划分成三个面积相等的三角形，这是几何学中一个令人着迷的性质。

重心是三角形三个内角平分线的交点，也是三个中线的交点。它的特殊位置使得它与三角形的面积密切相关。

当一条中线将三角形划分时，它将三角形分为两个面积相等的三角形。这是因为中线将底边平分，并平行于另一条边。当三个中线同时交于一点（即重心）时，它们将三角形划分为三个面积相等的三角形。

为了证明这一点，可以将三角形视为由平行线分成的条带。重心将这些条带平均分配到三个三角形中。假设重心将一条条带划分为两部分，则该部分的面积分别与重心到两个顶点的距离成正比。由于重心到三个顶点的距离相等，因此每个部分的面积也相等。所有条带的面积之和即三角形的面积，所以三个三角形的面积也相等。

因此，重心奇妙地将三角形分割成三个面积相等的三角形，为几何学中的对称性和均衡性提供了深刻的见解。

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4、三角形重心分成的三个三角形面积相等

三角形重心分成的三个三角形面积相等

三角形重心是三角形三个内角平分线的交点，具有许多有趣的性质。其中之一就是三角形重心将三角形分成三个较小的三角形，这三个三角形的面积相等。

为了证明这一点，我们可以考虑三角形ABC的重心G。根据三角形内角平分线性质，AG、BG、CG分别将角A、角B、角C平分，因此

∠BAG = ∠CAG = 1/2∠BAC

∠CBG = ∠BCG = 1/2∠CBA

∠ACG = ∠BCG = 1/2∠BCA

这意味着三角形ABG、三角形BCG、三角形CAG是全等的。

三角形全等意味着它们的面积相等。因此，三角形ABG、三角形BCG、三角形CAG的面积相等。

这一性质在几何学中有很多应用，例如求三角形面积、计算质心位置等。它也是一个非常直观的，表明三角形重心是一个杠杆平衡点，将三角形分成三块相等的区域。