两相交平面交线的求法（两平面相交交线的方向向量）
- 作者: 周禾
- 发布时间：2024-10-31
1、两相交平面交线的求法
两相交平面的交线求法
设两平面方程为：
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
求交线的步骤如下：
1. 构造两平面法矢向量
N1 = (A1, B1, C1)
N2 = (A2, B2, C2)
2. 求出法矢向量的叉积
N = N1 × N2
N = (A1B2 - A2B1, B1C2 - B2C1, C1A2 - C2A1)
3. N向量为交线的方向向量
这意味着交线与x、y、z轴的夹角正切值分别为：
tan(α) = N1 / N2
tan(β) = N2 / N3
tan(γ) = N3 / N1
4. 求出交线上的任意一点
从任意一个平面中选取一点，并将其代入另一个平面方程中，解得z的值。例如，从平面A1x + B1y + C1z + D1 = 0中选取一点(x0, y0)，则在平面A2x + B2y + C2z + D2 = 0中的对应点为(x0, y0, z0)，其中：
z0 = -(A2x0 + B2y0 + D2) / C2
5. 交线的参数方程
交线可以表示为：
r = P + tN
其中：
- P是交线上的任意一点
- t是参数
此方法适用于求任意两相交平面的交线。
2、两平面相交交线的方向向量
两平面相交交线的方向向量
当两个平面相交时，它们形成一条直线，称为交线。交线的方向向量可以表示为垂直于两个平面法向向量的叉积。
证明：
设平面 Π1 和 Π2 的法向向量分别为 n1 和 n2。假定交线为 l。
1. 证明 l 垂直于 n1：
设 l 上任意一点为 P，则 P 在 Π1 上。因此，n1 · (OP) = 0，其中 OP 是从原点到点 P 的向量。
2. 证明 l 垂直于 n2：
同理，由于 P 在 Π2 上，因此 n2 · (OP) = 0。
3. 推出 l 的方向向量：
由于 l 垂直于 n1 和 n2，因此其方向向量 d 与这两个法向向量垂直。因此：
d × n1 = 0 和 d × n2 = 0
求两个叉积的行列式，得到：
| d n2 | = 0
| n1 d |
行列式为 0，因此 d 平行于 n1 × n2。
因此，两平面相交交线的方向向量为垂直于两个平面法向向量的叉积。
