平面倾斜于圆柱的轴面与其相交（截平面倾斜于圆柱的轴线截平面与圆柱的交线是什么）

1、平面倾斜于圆柱的轴面与其相交

平面倾斜于圆柱的轴面与其相交，形成两条相交直线。这两条直线的斜率与圆柱的半径以及平面的倾角有关。

设圆柱的半径为 r，平面的倾角为 θ，则相交直线的斜率为：

m1 = tan(θ)

m2 = -tan(θ)

由于两条直线相交，所以它们的斜率相乘等于 -1：

m1 m2 = -1

因此，有：

tan2θ = -1

θ = 45°

这意味着平面的倾角必须为 45°，才能与圆柱的轴面相交。

相交直线的长度也与平面的倾角有关。当 θ = 45° 时，两条相交直线的长度相等，都等于圆柱的直径。随着 θ 的增大，相交直线的长度减小。

在实际应用中，这种平面与圆柱轴面相交的情况在工程和设计中很常见，例如：

用于制造斜坡或斜道，便于物体在圆柱体上移动。

用于设计圆柱形容器的盖子或开口，确保它们与圆柱体的轴面正确对齐。

用于分析圆柱形物体在倾斜平面上的运动或受力情况。

2、截平面倾斜于圆柱的轴线截平面与圆柱的交线是什么

截平面倾斜于圆柱的轴线时，截平面与圆柱的交线为椭圆。

当截平面平行于轴线时，截线圆形。

当截平面垂直于轴线时，截线为矩形。

当截平面倾斜于轴线时，截线为椭圆。

椭圆的长短轴长度取决于截平面与轴线的夹角。当截平面与轴线的夹角较小时，椭圆较扁，当夹角较大时，椭圆较长。

截平面与圆柱相交形成的椭圆的面积为：

S = π a b

其中，a 和 b 为椭圆的长短轴长度。

椭圆的周长为：

```

P = 4 (a + b) I(a/b)

```

其中，I 为第一类完全椭圆积分。

截平面倾斜于圆柱的轴线时，截平面与圆柱的交线为椭圆，其长短轴长度、面积和周长都与截平面与轴线的夹角有关。

3、平面与圆柱相交,截平面倾斜于轴线截交线为圆

平面与圆柱相交，若截平面倾斜于轴线，则截交线为圆。

设圆柱的轴线为l，截平面为α，不妨设圆柱半径为r，高度为h。当α平行于圆柱底面时，截交线为圆，半径为r。当α倾斜于轴线时，根据圆锥曲面定义，截交线为椭圆。

设α与轴线l的夹角为θ，α与平行于圆柱底面的截平面的夹角为φ。根据三角函数，有：

sin θ = r/h

cos θ = √(h2 - r2)/h

截交线上的任意一点P到轴线l的距离d为：

d = r/cos θ = r√(h2 - r2)/h

截交线上的任意一点P到截平面α的距离h'为：

h' = h sin θ = r

由以上公式可以得到：

截交线为圆的充要条件是：

d = h'

即：

r√(h2 - r2)/h = r

化简得：

h2 = 2r2

当且仅当圆柱的高度等于直径的2倍时，截平面倾斜于轴线得到的截交线为圆。

4、当平面倾斜于圆柱轴线截切时截交线的形状是

当平面倾斜于圆柱轴线截切圆柱时，截交线的形状取决于平面的倾角与圆柱底面半径之比。

倾角小于圆柱半径时

平行于轴线：截交线为直线。

倾斜于轴线：截交线为抛物线。

倾角等于圆柱半径时

截交线为一条通过圆柱中心且平行于轴线的直线。

倾角大于圆柱半径时

平行于轴线：截交线为两条直线，相切于圆柱的两个底面。

倾斜于轴线：截交线为两个抛物线，相切于圆柱的两个底面。

特殊情况

当平面平行于圆柱底面时，截交线为圆柱底面圆周。

当平面垂直于圆柱轴线时，截交线为圆柱的轴向截面，即矩形。

截交线形状的类型

| 平面倾角 | 截交线形状 |

|---|---|

| 小于圆柱半径 | 抛物线 |

| 等于圆柱半径 | 直线 |

| 大于圆柱半径 | 两个抛物线 |

| 平行于底面 | 圆周 |

| 垂直于轴线 | 矩形 |