若平面向量abc两两所成的角相等（若向量abc共面,则表示这三个向量有向线段）

1、若平面向量abc两两所成的角相等

若平面向量 a、b、c 两两所成的角相等，则我们将此等角称为 a、b、c 之间的 等角。等角的性质如下：

1. 循环对称性：

若 a、b、c 之间的角相等，则 b、c、a 之间的角也相等。

2. 三角形内角和定理：

设 ΔABC 是由向量 a、b、c 构成的三角形，则 ΔABC 的内角和为 180°。

3. 向量投影与模：

若 a、b 之间的角为 θ，则 a 在 b 方向上的投影为：

|a| cos θ

a 的模可表示为：

```

|a| = √(|a|2 cos2 θ + |a|2 sin2 θ) = |a|

```

4. 单位向量：

若 a、b、c 两两之间的角相等，则 a、b、c 的单位向量 ?、?、k? 也两两之间的角相等。

5. 线性无关：

若 a、b、c 两两所成的角相等，则 a、b、c 线性无关。

等角在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如：

力学中的力的合成与分解

电磁学中的电场和磁场的叠加

建筑学中的结构稳定性分析

航海学中的航线规划

2、若向量abc共面,则表示这三个向量有向线段

若向量 a、b 和 c 共面，则表示这三个向量的起点和终点位于同一平面中。几何意义上，这意味着由向量 a、b 和 c 所构成的有向线段共存于同一平面上。

当向量共面时，它们之间存在以下关系：

共线性： 如果 a、b 和 c 同一直线，则它们共线。在这种情况下，三个向量所构成的有向线段位于同一条直线上。

平行性： 如果 a、b 和 c 不共线，但它们的方向平行，则它们平行。在这种情况下，三个向量所构成的有向线段位于平行直线上。

共面向量的性质为几何建模和分析提供了有力的工具。它们可以用于确定平面的方程、求解线性和非线性方程组，以及进行其他复杂的几何计算。

向量共面性在物理学和工程学中也具有重要意义。例如，在力学中，共面的力可以简化为单个合力，并使用向量叠加进行分析。在建筑和设计中，共面向量用于确保结构的稳定性和完整性。

因此，了解向量共面性在数学、科学和工程领域有着广泛的应用。它为研究和分析空间中的几何关系提供了重要的基础。

3、平面向量abc不共线,且两两所成的角相等

在几何平面中，当三个向量 abc 不共线时，它们的共面性取决于它们两两所成的角是否相等。如果两个角相等，第三个角也相等，则它们共面。

设向量 a、b、c 不共线。令角 ∠abc = ∠acb = ∠bac = θ。根据三角和定理，有：

θ + θ + θ = 180°

3θ = 180°

θ = 60°

因此，三个角都等于 60°。这意味着向量 a、b、c 构成一个等边三角形。

根据等边三角形的性质，共线的向量必须位于三角形的一边，或者与对角线平行。

如果向量 a、b、c 位于一条直线上，则它们共线。

如果向量 a、b、c 与对角线平行，则它们不共线，但共面。

本例中给出了不共线条件，因此我们可以得出，向量 a、b、c 构成一个等边三角形，并且共面。

4、若平面向量b与向量a=(1,-2)

若平面向量 b 与向量 a=(1,-2) 不共线，则它们可以组成一个平行四边形。

平行四边形的面积

平行四边形的面积可以由其两条相邻边的长度和夹角求得。由于向量 a 的长度为 √(12 + (-2)2) = √5，设向量 b 的长度为 |b|，且向量 a 和 b 之间的夹角为 θ。则平行四边形的面积为：

```

面积 = |a| |b| sin(θ)

```

向量 b 的长度

为了求出向量 b 的长度，我们需要知道向量 a 和 b 的内积。如果向量 a 和 b 不共线，则它们的内积为 0，即：

```

a · b = 1 b_x + (-2) b_y = 0

```

其中，(b_x, b_y) 是向量 b 的坐标。解得：

```

b_y = - (1/2) b_x

```

根据向量的长度公式，有：

```

|b|2 = b_x2 + b_y2

```

代入 b_y，得到：

```

|b|2 = b_x2 + (1/4) b_x2

```

解得：

```

|b| = b_x √(5/4)

```

向量 b 的坐标

将 b_y 代入 |b| 的公式，得到：

```

|b| = b_x √(5/4) = |a| √(5/4)

```

因为 |a| = √5，所以：

```

|b| = √5

```

将 b_y 代入 |b| 公式，得到：

```

b_y = - (1/2) b_x = - (1/2) √5

```

因此，向量 b 的坐标为 (√5, - (1/2) √5)。